How to generate an object under an ordinary Boltzmann distribution via an exponential Boltzmann sampler

This short note presents an efficient way to derive from an exponential Boltzmann sampler a ordinary Boltzmann sampler. Cette note rapide présente une façon efficace de passer d’un générateur de Botzmann exponentiel à un générateur de Boltzmann ordinaire. Introduction and Motivations Les générateurs de Boltzmann introduit par Duchon, Flajolet, Louchard et Schaeffer [3], constituent une avancée importante pour la génération aléatoire. Ils permettent aujourd’hui d’engendrer des objets de tailles inexpérées avec les techniques précédentes. Nous montrons dans cette petite note comment transformer un générateur exponentiel de Boltzmann pour une classe combinbatoire C, c’est à dire un générateur dont la probabilité de tirer un objet ω de taille n est x n n!Ĉ(x) en un générateur ordinaire de Boltzmann : i.e. avec la probabilité de tirer un objet ω de taille n en x n C(x) . Ce petit résultat est le premier maillon nécessaire à l’élaboration d’un générateur de Boltzmann pour l’opérateur Shuffle [2]. 1. Notations et définitions de base Nous renvoyons le lecteur au livre “Analytic Combinatorics” [4] pour une remarquable exposition de ce qu’est la combinatoire symbolique. Cette note utilise la terminologie et les concepts de base de ce domaine des mathématiques. Nous rappelons ici brièvement les notions de combinatoire symbolique qui nous serons utiles par la suite : Une classe combinatoire est un couple (A, |.|) (simplement A s’il n’y a pas d’ambiguité) où A est l’ensemble des objets de la classe et |.| une fonction taille A → N associé aux objets. De plus nous désirons qu’il n’y ait qu’un nombre fini d’objet de même taille. Etant donnée A une classe combinatoire. Nous notons Â(x) la serie génératrice exponentielle de A (EGF): Â(x) = ∑ n≥0 an n! x n où an est le nombre d’objets dans A de taille n. Parallelement, la fonction génératrice ordinaire de A (OGF) est A(x) = ∑ n≥0 anx . 2. Génération aléatoire On rappelle ici les deux types de générateurs de Boltzmann comme introduit dans [3]. Les générateurs exponentiels qui sont des générateurs qui doivent renvoyer un † ANR GAMMA 07-2 195422 grant of the French Agence Nationale de la recherche. 1